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塞瓦定理(塞瓦定理证明)

1. 塞瓦定理

1. 塞瓦定理

塞瓦定理 设O是△ABC内任意一点, AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 证法简介 (Ⅰ)本题可利用梅涅劳斯定理证明: ∵△ADC被直线BOE所截, ∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ① 而由△ABD被直线COF所截,∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/BF)=1② ②÷①:即得:(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 (Ⅱ)也可以利用面积关系证明 ∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③ 同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤ ③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点: 设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F, 根据塞瓦定理逆定理,因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA)/[(CD*ctgB)]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/ [(AE*ctgB)]=1,所以三条高CD、AE、BF交于一点。

2. 塞瓦定理证明

2. 塞瓦定理证明

该定理是指在△ABC内任取一点O,延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。

塞西是意大利水利工程师,数学家。塞西定理载于塞西于1678年发表的《直线论》一书,也有书中说塞西定理是塞瓦重大发现。塞西定理记忆方法:三顶点选一个作为起点,定一方向,绕一圈,三组比例相乘为一。

3. 塞瓦定理如何证明

应该是塞瓦定理。是指在△ABC内任取一点O,延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。

塞瓦(Giovanni Ceva,1648~1734)意大利水利工程师,数学家。塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》一书,也有书中说塞瓦定理是塞瓦重大发现。

塞瓦定理记忆方法:三顶点选一个作为起点,定一方向,绕一圈,三组比例相乘为一。

4. 塞瓦定理逆定理证明

可利用梅涅劳斯定理(简称梅氏定理)证明:

∵△ADC被直线BOE所截,

∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1①

∵△ABD被直线COF所截,

∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②

②/①约分得:

(DB/CD)×(CE/EA)×(AF/FB)=1

(Ⅱ)也可以利用面积关系证明

∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③

同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ ,AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤

③×④×⑤得(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

5. 塞瓦定理逆定理

不成立。

已知:O是⊙O的圆心,A、B在圆上,OA⊥AP,OB⊥BP

求证:PA=PB,∠APO=∠BPO

上面就是“切线长定理”,当然是成立的.

但它的逆命题并不成立,也就无法证明.只能举反例.

事实上, 符合“O是⊙O的圆心,A、B在圆上,PA=PB,∠APO=∠BPO”这个条件的A、B点有无数个.

如图可见:A1、B1是一对满足条件的点,A2、B2是另外一对.有无数对这样的点.

只要在直线OP上的⊙O内的部分(⊙O的直径)上任意取点M,过M作OP的垂线L,直线L交⊙O于A、B,连接OA、OB、PA、PB,就一定有PA=PB,∠APO=∠BPO,显然这样的点A、B有无数对,其中只有一对能满足OA⊥AP,OB⊥BP (图中的A、B)

6. 塞瓦定理 女神异闻录

梅涅劳斯(Menelaus)定理(简称梅氏定理)是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的.它指出:如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点,那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1.或:设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上,则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 .

塞瓦定理:在△ABC内任取一点O,直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

本题可利用梅涅劳斯定理证明:

∵△ADC被直线BOE所截,

∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1

而由△ABD被直线COF所截,

∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1

7. 塞瓦定理和梅涅劳斯定理的区别

证法1 平行线法

证法2 共边定理法

证法3 共角定理法

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