1. laurent级数
分别求洛朗级数的正幂次项部分的收敛域与负幂次项部分的收敛域，两个收敛域的公共部分即为所求的收敛域。
2. laurent级数的收敛域
留数又称残数，复变函数论中一个重要的概念。是解析函数f（z）沿一条正向简单闭曲线的积分值。
定义是：f（z）在 0
，则称积分值（1/2πi）∫|z－a|=Rf（z）dz为f（z）关于a点的留数 ，记作Res[f（z），a] 。如果f（z）是平面流速场的复速度，而a是它的旋源点（即旋涡中心或源汇中心），则积分∫|z－a|=Rf（z）dz表示旋源的强度——环流量，所以留数是环流量除以2πi的值。由于解析函数在孤立奇点附近可以展成罗朗级数：f（z）=∑ak（z－a）k ，将它沿|z－a|=R逐项积分，立即可见Res[f(z)，a]=a-1 ，这表明留数是解析函数在孤立奇点的罗朗展式中负一次幂项的系数。
在复分析中，留数定理是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可以用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推广。
留数定理：设D是复平面上单连通开区域，C是其边界,函数f(z)在D内除了有限个奇点a1,a2,...,an外解析,在闭区域D+C上除了a1,a2,...,an外连续,则在C上围道积分∮f(z)dz=2πi∑Res(f(z),ak)
3. laurent级数展开计算
如果一个函数f(z)在z0点的某个去心环形领域（即R1<|z-z0|<R2）内处处解析，那么在这个去心环形领域内，f(z)就可以唯一表示成f(z)=∑Cn(z-z0)^n(n从取到-∞到+∞)，这个级数就叫做f(z)在R1<|z-z0|<R2的Laurent级数。（需要注意的是：f(z)在z0的领域|z-z0|<R1上的解析性未知。）
Taylor级数的定义：
若f(z)在领域|z-z0|<R1内处处解析，则在|z-z0|<R1上，f(z)可以唯一表示为f(z)=∑an(z-z0)^n(n从取到0到+∞)，这个级数就叫做f(z)在|z-z0|<R1的Taylor级数。
从两者定义的来判断：
f(z)写成Laurent级数的区域为环形区域，而展开成Taylor级数的区域为圆形区域内部。所以可以根据题目要求的f(z)的展开区域来判断f(z)展开为什么级数。
同样值得注意的是：
若f(z)在环形区域上展开为Laurent级数，在圆形区域内部展开为Taylor级数，若这两个区域有公共部分，那么根据幂级数展开的唯一性可知，此时的Laurent级数的表达式就等同于Taylor级数的表达式。
如果f(z)是实函数，则当f(z)为常数函数时，也是可以展开为洛朗级数的。
分析如下：
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
若f(z)是实函数
则，v(x,y)≡0
dv/dx=0,dv/dy=0
在某个环形区域内，当且仅当u(x,y)=C(C为实常数)时，柯西黎曼方程处处成立，即f(z)在该环形区域内处处解析
所以，f(z)=C在环形区域内可以展开为Laurent级数。洛朗级数 复变函数f(z)的洛朗级数,是幂级数的一种,它不仅包含了正数次数的项,也包含了负数次数的项.有时无法把函数表示为泰勒级数,但可以表示为洛朗级数.函数f(z)关于点c的洛朗级数由下式给出：f(...
4. 1/z展开为Laurent级数
在数学中，复变函数的洛朗级数，是幂级数的一种，它不仅包含了正数次数的项，也包含了负数次数的项。有时无法把函数表示为泰勒级数，但可以表示为洛朗级数。洛朗级数是由Pierre Alphonse Laurent在1843年首次发表并以他命名的。卡尔·魏尔斯特拉斯可能是更早发现这个级数的人，但他1841年的论文在他死后才发表于世。
5. laurent级数例题
cotx由于在x=0处无定义，所以没有 Maclaurin级数形式。
在其他点可以按照泰勒级数的形式展开，不过通常会转换成tan形式cot(x)=tan(Pi/2-x)。tan(x)=Σ[(-1)^(n-1)*2^(2n)(2^(2n)-1)B(2n)]/(2n)! x^(2n-1) for n=1 to Infinity。
复变函数中，cotz可以展开成Laurent级数形式，cot(z)=Σ[(-1)^(n)*2^(2n)B(2n)]/(2n)! z^(2n-1) for n=0 to Infinity。
泰勒公式形式
泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x0）的n次多项式来逼近函数的方法。
若函数f（x）在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：
其中，表示f（x）的n阶导数，等号后的多项式称为函数f（x）在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn（x）是泰勒公式的余项，是（x-x0）n的高阶无穷小。
扩展资料：
公式应用
实际应用中，泰勒公式需要截断，只取有限项，一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒展开式。泰勒公式的余项可以用于估算这种近似的误差。
泰勒展开式的重要性体现在以下五个方面：
1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。
2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。
3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。
4、证明不等式。
5、求待定式的极限
6. laurent级数唯一性
姓名：L．V．阿尔福斯Ａhlfors（Lars Valerian）。出生日期（获奖时年龄）：1907年4月18日（29岁）。籍贯：芬兰（美藉）。获奖年度、地点：1936年，奥斯陆。获奖前后的工作地点：赫尔辛基大学，哈佛大学。主要成就：证明了邓若瓦猜想；发展覆盖面理论。对黎曼面作了深入研究。
姓名：J．道格拉斯（Douglas,Jesse）。出生日期（获奖时年龄）：1897年7月3日（39岁）籍贯：美国。获奖年度、地点：1936年、奥斯陆。获奖前后的工作地点：麻省理工学院主要成就：解决普拉托极小曲面问题，即一种非线性椭圆型偏微分方程的第一边值问题；变分问题的逆问题。
姓名：L．施瓦尔兹（Schwartz,Laurent）。出生日期（获奖时年龄）：1915年6月15日（35岁）。籍贯：法国。获奖年度、地点：1950年、坎布里奇。获奖前后的工作地点：南锡大学，巴黎学院。主要成就：创立了广义函数论；对泛函分析、概率论、偏微分方面均有建树。
姓名：A．赛尔伯格（Selberg,Atle）。出生日期（获奖时年龄）：1917年6月17日（33岁）。籍贯：挪威（美籍）。获奖年度、地点：1950年、坎布里奇。获奖前后的工作地点：奥斯陆大学，普林斯顿高等研究所。主要成就：数论中素数定理的初等证明和对黎曼假设的贡献；弱对黎曼空间中调和分析和不连续群及其狄里克雷级数的应用；连续群的离子群研究。
姓名：小平邦彦（Kodaira Kunihiko）出生日期（奖获时年龄）：1915年3月16日（39岁）。籍贯：日本获奖年度、地点：1954年、阿姆特斯丹。获奖前后的工作地点：普林斯顿高等研究所。主要成就：推广了代数几何的一条中心定理：黎曼——罗赫定理。证明了狭义卡勒流形是代数流形，得到了小平邦彦消灭定理。
姓名：J.P.塞尔（Serre,Jean-pierre）。出生日期（获奖时年龄）：1926年9月15日（28岁）。籍贯：法国。获奖年度：地点：1954、阿姆斯特丹。获奖前后的工作地点：巴黎大学。主要成就：发展了 纤维丛的概念，得出一般纤维的空间概念；解决了纤维、底空间、全空间的同调关系问题，并由此证明了同伦论中最重要的一般结果；除了以前知道的两种情形之外，球面的同伦群都是有限群；引进了局部化方法把求同伦群的问题加以分解，得出一系列重要结果。
姓名：K．F．罗斯（Roth，Klaus Friedrich）。出生日期（获奖时年龄）：1925年10月29日（33岁）。籍贯：德国（英藉）。获奖年度、地点：1958年、爱丁堡。获奖前后的工作地点：伦敦大学。主要成就：建立了代数数有理逼近的瑟厄——西格尔——罗斯定理。
姓名：R．托姆（Thorn，Rene）。出生日期（获奖时年龄）：1923年9月2日（35岁）．籍贯：法国。获奖年度、地点：1958年、爱丁堡获奖前后的工作地点：斯特拉斯堡 大学。主要成就：创立拓扑学协边理论、奇点理论、突变理论；提出了“托姆复形”、建立了微分流形的大范围理论中的基本定理。
姓名： L．V．霍曼德尔（Hormander，Lars Valter）。出生日期（获奖时年龄）：1931年1月24日（31岁）。籍贯：瑞典。获奖年度、地点：1962年、斯德哥尔摩。获奖前后的工作地点：斯德哥尔摩 大学。主要成就：常系数线性偏微分算子理论；变数系线性偏微分方程解的存在性伪微分算子理论。
姓名：J．W．米尔诺（Milnor，John Willard）．出生日期（获奖时年龄）：1931年2月20日（31岁）。籍贯：美国。获奖年度、地点：1962年、斯德哥尔摩。获奖前后的工作地点：普林斯顿大学。主要成就：微分拓扑中七维球面上存在不同微分结构的证明；否定了皮加莱主猜想；发展复配过、自旋配边理论；代数K理论和复超曲面的奇点；对代教、代数数论作出了贡献．
姓名：M．F．阿蒂雅（Atiyah，Michae Francis）。出生日期（获奖时年龄）：1924年4月22月（37岁）。籍贯：英国。获奖年度、地点：1966年、莫斯科。获奖前后的工作地点：牛津大学。主要成就：绘出了阿蒂雅——辛格指标定理；为K理论的发展作出了重要贡献；解决了李群表示论、与规范场有关的代数几何中的若干问题，把不动点原理推广到一般形式。
姓名：P．J．科恩（Cohen，Paul Joseph）出生日期（获奖时年龄）：1934年4月2日（32岁）。藉贯：美国。获奖年度、地点：1966年、莫斯科。获奖前后的工作地点：斯坦福大学。主要成就：证明了连续统假设与ZF集合公理系统彼此独立，从而使连续统假设成为一种既不能证明，又不能推翻的现代逻辑工具；对抽象调和分析颇有建树。
姓名：A．格罗登迪克（Crothendieck，Alexandre）。出生日期（获奖时年龄）：1924年3月28日（38）岁。籍贯：法国。获奖年度、地点：1966年、莫斯科。获奖前后的工作地点：巴黎高等科学研究所。主要成就：创立了一整套现代代数几何学抽象理论体系；在泛函分析中引入核空间、张量积；对同调代数也有建树。
姓名：S．斯梅尔（Smale，Stephen）。出生日期（获奖时年龄）：1930年7月15日（36岁）。籍贯：美国。获奖年度、地点：1966年、莫斯科。获奖前后的工作地点：加州大学伯克利分校。主要成就：解决微分拓扑学中广义庞加莱猜想；创立现代抽象微分动力系统理论；在数理经济学和运筹学等方面也有重要贡献。
姓名： A．贝克（Baker，Alan）。出生日期（获奖时年龄）：1939年8月19日（31岁）。籍贯：英国。获奖年度、地点：1970年、尼斯。获奖前后的工作地点：剑桥大学。主要成就：解决了数论中十几个历史悠久的困难问题，范围涉及超越数论、不定方程和代数数论等方面；在二次数域方面，他解决了高斯时代留下来的一个老问题，肯定了类数为1的虚二次数域只有9个。
姓名：广中平佑（Hironaka Heisu-ke）。出生日期（获奖时年龄）：1931年4月9日（39岁）．籍贯：日本。获奖年度、地点：1970年、尼斯。获奖前后的工作地点：哈佛大学。主要成就：完全解决了任何维数的代数簇的寄点解泪问题，建立了相应定理，并把这一结果向复流形推广，对一般奇点理论作出了贡献。
姓名：S．P．诺维科夫（Novikov，S．P．）出生日期（获奖时年龄）：1938年3月20日（32岁）．籍贯：苏联。获奖年度、地点：1970年尼斯。获奖前后的工作地点：斯捷克洛夫数学研究所。主要成就：微分拓扑学配边理论，叶状结构理论；证明了微分流形有理庞特里亚金示性类的拓扑不变性；孤立子理论。
姓名：J．G．汤普逊（Thompson，John Grggs）。出生日期（获奖时年龄）：1932年10月13日（38岁）。籍贯：美国．获奖年度、地点：1970年、尼斯。获奖前后的工作地点：芝加哥大学主要成就：解决有限单群的伯恩赛德猜想和弗洛贝纽斯猜想，在有限群论方面作出了重要贡献。
姓名：D．B．曼福德（Mumford，David Bryart）。出生日期（获奖时年龄）：1937年6月11日（37岁）。籍贯：英国（美籍）。获奖年度、地点：1974年、温哥华。获奖前后的工作地点：哈佛大学。主要成就：代数几何学参模理论，他创造性地应用了不变式理论，导致许多新结果，并由此产生了几何不变式论；证明了代数曲面与代数曲线和高维代数簇有一个不同之处，对代数曲面的分类作出了贡献。
姓名： E．庞比里（Bombieri，Enrico）。出生日期（获奖时年龄）：1940年11月26日（34岁）。籍贯：意大利。获奖年度、地点：1974年、温哥华。获奖前后的工作地点：米兰大学、比萨大学。主要成就：改进数论大筛法，得出了所谓庞比里中值公式，证明了哥德巴赫猜想中的（1+3）；对极小曲面问题的伯恩斯坦猜想提出了反例；有限单群分类问题中一类李型单样的唯一性证明。
姓名：C．费弗曼（Fefferman，Charles）。出生日期（获奖时年龄）：1949年4月18日（29岁）。籍贯：美国。获奖年度、地点：1978年、赫尔辛基。获奖前后的工作地点：普林斯顿大学。主要成就：傅立叶级数收敛问题及其与奇异积分算子的联系；发现哈代空间H1与有界平均振动函数空间BMO的对偶关系；给出非退化线性偏微分方程局部可解性的一个充分必要条件；证明一个具有光滑边界的严格伪凸域到另外一个的双全纯映射可以光滑地延拓到边界上。
姓名： P．德利汉（Deligne，Pierre）。出生日期（获奖时年龄）：1944年10月3日（34岁）。籍贯：比利时。获奖年度、地点：1978年赫尔辛基。获奖前后的工作地点：巴黎高等科学研究所。主要成就：解决代数几何学中联系素数与有限域中代数方程根的个数的韦伊猜想，以简洁清晰的证明解决了这一代数几何的中心问题，得到了ξ函数理论的“韦伊——德利涅定理”；对调和分析、多复变函数均有建树。
姓名： D．奎伦（Quillen，Daniel）。出生日期（获奖时年龄）：1940年4月20日（38岁）。籍贯：美国。获奖年度、地点：1978年、赫尔辛基。获奖前后的工作地点：马萨诸塞理工学院。主要成就：解决了代数X理论中亚当斯猜想；得到K理论中塞尔猜想的证明，并开始将代数归结为拓扑，复配边理论与形成代数K理论的基础。他还在同伦理论，形式群理论，同调代数一有限群的上同调论等方面取得重要成果。
姓名：G．A．马古利斯（Margulis，G．A．）出生日期（获奖时年龄）：1946年2月24日（32岁）。籍贯：苏联。获奖年度、地点：1978年、赫尔辛基。获奖前后的工作地点：莫斯科通讯研究所。主要成就：综合地利用代数、分析和数论的近代成果，特别是各态遍历性理论，彻底解决了关于李群的离散子群的赛尔伯格猜想。
姓名：A．孔耐（Connes，Alan）。出生日期（获奖时年龄）：1947年4月1日（35岁）。籍贯：法国。获奖年度、地点：华沙。获奖前后的工作地点：巴黎高等科学研究所。主要成就：从事算子代数研究，引进了新的不变量，将Ⅲ型代数分为子类，进一步把这些代数旧结为Ⅱ型代数及其自同构，然后按外自同构进行系统归类，从根本上解决了J．冯诺依曼留下的代数分类问题。
姓名：W．色斯顿（Thurston，William）。出生日期（获奖时年龄）：1946年10月30日（36岁）．籍贯：美国。获奖年度、地点：1983年、华沙。获奖前后的工作地点：普林斯顿大学。主要成就：讨论了三维流形上的叶状结构，并对一般流形上叶状结构的存在、性质及其分类得出了普遍的结果；他借助于电子计算机：基本完成了三维闭流形的拓扑分类。
姓名：丘成桐（Yan Sheng－tung）。出生日期（获奖时年龄）：1949年4月4日（33岁）。籍贯：中国（美籍）。获奖年度、地点：1983年、华沙。获奖前后的工作地点：普林斯顿高等研究所。主要成就：证明微分几何中的卡拉比猜想；证明了广义相对论中的正质量猜想；并在高维闵科夫斯基问题、三维流形的拓朴学与极小曲面等方面均有创见。
姓名：S．唐纳森（Donaldson，simon）。出生日期（获奖时年龄）：1957年8月20日（29岁）。籍贯：英国。获奖年度、地点：1986年、伯克利。获奖前后的工作地点：牛津大学。主要成就：关于四维流形拓扑的研究。他发现了四维几何学中难以预料与神秘的现象，得出存在“怪异”四维空间的结论，即与标准欧氏空间R1拓扑同胚但不微分同胚的微分流形。
姓名： G．福尔廷斯（Faltings，Gerd）。出生日期（获奖时年龄）：1954年7月25日（32岁）。籍贯：德国。获奖年度、地点：1986年、伯克利。获奖前后的工作地点：普林斯顿大学，乌珀塔尔大学。主要成就：用代数几何学方法证明了数论中的莫德尔猜想；他对阿贝簇的参模空间、算术曲面的黎曼——定理、Padic霍奇理论等也有创见。
姓名：M．弗里德曼（Freedman，Michael）。出生日期（获奖时年龄）：1951年4月21日（35岁）。籍贯：美国。获奖年度、地点：1986年、伯克利。获奖前后的工作地点：加利福利亚大学，加州大学圣地亚哥分校。主要成就：证明了四维流形拓扑的庞加莱猜想，因而刻划了球面S1，并且提供了对再一般的四维流形的、容易陈述但证明很难的分类定理；对偏微分方程、相对论也有建树。
姓名： V．德里费尔德（Drinfel’d，Vladimir）。出生日期（获奖时年龄）；1954年（36岁）。籍贯：苏联。获奖年度、地点：1990年、东京。获奖前后的工作地点：哈尔科夫低温物理研究所。主要成就：他的工作在“类域”（Galois扩张的分类）的传统理论之内，即在算术领域之内，但建立于代数几何新对象的结构上；他称之为模（modules）。他的主要成就与量子群有关，它是一些代数（Hopf代数），具有能连续变形的特征。
姓名： F．R．J．沃思（Vaughan，F．R．Jones）。出生日期（获奖年龄） 1953年（37岁）籍贯：新西兰。获奖年度、地点：1990年、东京。获奖前后的工作地点：加州大学伯克利分校。主要成就：扭结理论。他的工作与纽曼代数中的因子分数有关，他发现了合痕的一个不变量，它是一个和1／的多项式（g是一个变量）：两个同痕的结有相同的不变量。
姓名：森重文（Shigffumi MorD。出生日期（获奖时年龄）：1951年2月23日（39岁）。籍贯：日本。获奖年度、地点：1990年、东京。获奖前后的工作地点：京都数学科学研究所。主要成就：三维代数族的分类。他建立了一种三维代数簇的分类研究，他发现了一些变换，它们正好只存在于至少三维的情形：被称为“flip”，从而更新了广中平佑对奇点的研究。
姓名： E．威滕（Witten，Edward）。出生日期（获奖时年龄）：1951年（38岁）。籍贯：美国。获奖年度、地点：1990年、东京。获奖前后的工作地点：普林斯顿高等研究所。主要成就：弦理论。他对“超弦理论”做出了很大贡献，这一理论完全可能在相对性理论、量子力学和粒子相互作用之间做出统一的数学处理（这是A．爱因斯坦大半生追求的梦想）。他证明了（在陈一Simons理论的所有情况下）状态空间是二线的。