菲涅尔数公式，什么是菲涅耳数

表征激光谐振腔衍射损耗的一个参数。考虑由半径都为a、相距为d的两个圆形平行平面反射镜A和B构成的谐振腔，设波长为λ的一束平行光射向镜面A，被A反射后，按波动光学原理，将衍射到大小约为θ=λ/2a的角度内。而从镜面中心发出的光束，若与腔轴成大小为a/d的夹角，则在腔内运行一次就要逸出腔外。如果要求光束在腔内至少往返n次，则光束与腔轴的夹角不能超过a/2nd。所以要使该谐振腔具有低损耗，就应满足a/2nd>λ/2a。 定义N=a^2/d\lambda为菲涅耳数。上述要求变为N>n，即N表示最大往返数。

菲涅耳公式由奥古斯丁·让·菲涅耳导出。用来描述光在不同折射率的介质之间的行为。由公式推导出的光的反射称之为“菲涅尔反射”。光波通过不同介质的分界面时会发生反射和折射，入射光分为反射光和折射光两部分。这两束光的进行方向之间的关系虽可由反射和折射定律决定，但二光束的振幅和振动取向却不能决定。菲涅耳以光是横波的设想为基础，把入射光分为振动平面平行于入射面的线偏振光和垂直于入射面的线偏振光，并导出了光的折射比、反射比之间关系的菲涅耳公式。由菲涅耳公式可以求出一定入射角下反射和透射的振幅、强度等。可以很好地解释光的反射与折射的起偏问题及半波损失问题等。菲涅耳公式作为光学和电磁理论的一个重要基本公式。而且在薄膜及电磁现象中应用非常广泛。

简单的说吧：1. R>>λ时2. 在计算dE =（-i /λ）*E0*( (1+cosθ) / 2 )*( e ^ ( ikr ) / r )* d∑积分的时候3. e ^ ( ikr )是不能直接看作常数的4. e的复指数实际上是三角函数5. 作为三角函数，哪怕自变量变了很小的范围，最终的值也可能变很多6. 尽管r>>R7. 但kr在积分中会变过很多弧度2.λ>>R时这时，kr可以看做常量，但衍射积分公式就不再对了菲涅耳衍射积分公式及基尔霍夫边界条件只适用于λ<<R时，比如光波这时就必须用电动力学的边值关系进行严格求解

奥古斯汀·菲涅耳 Augustin Fresnel (1788～1827)，法国土木工程师兼物理学家。菲涅耳的科学成就主要有两方面： 一是 衍射 ，他以惠更斯原理和干涉原理为基础，用新的定量形式建立了以他们的姓氏命名的惠更斯－菲涅耳原理。他的实验具有很强的直观性、明锐性，很多仍通行的实验和光学元件都冠有菲涅耳的姓氏，如：双面镜干涉、波带片、菲涅耳镜、圆孔衍射等。 另一成就是 偏振 ：他与阿拉戈一起研究了偏振光的干涉，肯定了光是横波；发现了圆偏振光和椭圆偏振光，用波动说解释了偏振面的旋转；推出了反射定律和折射定律的定量规律，即菲涅耳公式；解释了E.－L.马吕斯的反射光偏振现象和双折射现象，从而建立了晶体光学的基础。 每种材质都带有菲涅尔数值，这是根据其折射率来决定的。这个值表明了会有多少光线从物体表面被反弹，以及又有多少光线被吸收。 简单的讲，当视线垂直于表面时，反射较弱，而当视线非垂直表面时，夹角越小，反射越明显。这就是“菲涅尔效应”。 如果站在湖边，低头看脚下的水，会发现水是透明的，反射不是特别强烈；如果看远处的湖面，会发现水并不是透明的，反射非常强烈，可以看到很多景物的倒影：渲染中同理，当摄像机侧对物体表面时，会比摄像机正对表面反射更多的光线。开启Fresnel渲染结果会更接近现实物理世界，整体上感觉更真实。 以下是一个Glossy Fresnel效果开启和关闭对比图： 当光通过不同的介质界面时，入射光分为反射光和折射光两部分，折射定律和反射定律决定了他们的方向，而这两部分光的强度和振动的取向，都需要用电磁理论中的“菲涅耳公式”来解释。 菲涅尔公式是光学中的重要公式，能够解释反射光的强度、折射光的强度、相位与入射光的强度的关系。菲涅尔公式（或菲涅尔方程），用来描述光在不同折射率介质之间的行为。由公式推导出的光的反射称之为“菲涅尔反射”。 在光学里，菲涅尔衍射指的是光波在近场区域的衍射。 菲涅尔现象几乎存在于90%的反射现象里面。 简单的讲，就是视线垂直于表面时，反射较弱，而当视线非垂直于表面时，夹角越小，反射越明显。如果看向一个球体，球体中心的反射较弱，靠近边缘较强，这就是菲涅尔衍射。 不同材质的菲涅尔效应强弱不同，导体(如金属)的菲涅尔反射效应很弱，就拿铝来说，其反射率在所有角度下几乎都保持在86%以上，随角度变化很小，而绝缘体材质的菲涅尔效应就很明显，比如折射率为1.5的玻璃，在表面法向量方向的反射率仅为4%，但当视线与表面法向量夹角很大的时候，反射率可以接近100%，这一现象也使得金属与非金属看起来不同。在图形学中，我们也可以加入菲涅尔反射效应，以使玻璃，瓷器，水面等物体的反射显得更真实。 菲涅尔透镜，又名螺纹透镜，多是由聚烯烃材料注压而成的薄片，也有玻璃制作的，镜片表面一面为光面，另一面刻录了由小到大的同心圆（即菲涅尔带），它的纹理是根据光的干涉及扰射以及相对灵敏度和接收角度要求来设计的。此设计原来被应用于灯塔，这个设计可以建造更大孔径的透镜，其特点是焦距短，且比一般的透镜的材料用量更少、重量与体积更小。和早期的透镜相比，菲涅耳透镜更薄，因此可以传递更多的光，使得灯塔即使距离相当远仍可看见。由一系列同心扁长椭圆构成，位于发射天线和接收天线系统之间及其周围的空间区域。 该概念用于理解和计算位于发射器和接收器之间的波（例如声波、无线电波）的强度。

光源和光屏到障碍物的距离都很大，此时入射光为平行光，波面是平面，衍射光也是平行光。这种衍射称为夫琅禾费衍射，它是夫琅禾费(J.von Fraunhofer)最早描述的(1821--1822年)。在实验室里，我们可以很容易的用透镜使入射球面光波变成平行光，很容易实现夫琅禾费衍射的条件。显然，菲涅尔衍射是普遍情况，夫琅禾费衍射只是它的特例。夫琅禾费单缝衍射当衍射角θ=0时,所有衍射光线从缝面AB到会聚点0都经历了相同的光程,因而它是同位相的振动.在O点合振动的振幅等于所有这些衍射线在该点引起的振动振幅之和,振幅最大,强度最大.2.夫琅禾费单缝衍射O点呈现明纹,因处于屏中央,称为中央明纹.设一束衍射光会聚在在屏幕上某点P ,它距屏幕中心 o 点为 x,对应该点的衍射角为θ.单缝面上其它各点发出的子波光线的光程差都比AC小.在其它位置:过B点作这束光的同相面BC,由同相面AB发出的子波到P点的光程差,仅仅产生在由AB面转向BC面的路程之间.A点发出的子波比B点发出的子波多走了AC=asinθ的光程.每个完整的半波带称为菲涅尔半波带.菲涅尔半波带法:用λ / 2 分割 ,过等分点作 BC 的平行线(实际上是平面),等分点将 AB 等分----将单缝分割成数个半波带.特点: 这些波带的面积相等,可以认为各个波带上的子波数目彼此相等(即光强是一样的).每个波带上下边缘发出的子波在P点光程差恰应的位相差为λ / 2.菲涅尔数:单缝波面被分成完整的波带数目.它满足:若单缝缝宽a,入射光波长λ 为定值,波面能被分成几个波带,便完全由衍射角决定.若m=2,单缝面,被分成两个半波带,这两个半波带大小相等,可以认为它们各自具同样数量发射子波的点.每个波带上对应点发出的子波会聚到P点,光程差恰好为 λ /2,相互干涉抵消.此时P点为暗纹极小值处.依此类推,当m=2k (k=1,2,3… )时,即m为偶数时,屏上衍射光线会聚点出现暗纹.(m为半波带的数量)当m=2k+1(k=1,2,3… )时,即m为奇数时，屏上显示的是明纹.如果对应于某个衍射角,单缝波面AB被分成奇数个半波带,分割成偶数个半波带,P 点为暗纹.分割成奇数个半波带,P 点为明纹.